——比重与浮力的发现埃拉托色尼谈论天体结构的时候，突然有人大喊“还要不要脑袋”。两人大吃一惊，忙回头仔细一看，才松了一口气，原来是他们的好友，亚里山大里亚博物院的天文学家亚利斯塔克。阿基米德正要回敬他几句，亚利斯塔克暗示他不要嚷嚷。他一抬头才发现不远处还有二人在散步，其中一人叫克利安西。阿基米德不觉耸了一下肩膀，三人立即悄悄地返身离开海滩往回走去。
原来，在这个世界学术中心，堂堂的亚里山大里亚博物院里，派系斗争也很激烈。刚才那个克利安西是斯多噶唯心哲学派的领袖。如果要让克利安西知道他们三人讨论地球在绕太阳转之类的问题，是够危险的。要知道，直到阿基米德死后一千多年，布鲁诺和伽利略就是因为坚持这个学说，一个被烧死，一个被判了无期徒刑。这是后话。难怪亚利斯塔克问他们还要不要脑袋。
再说阿基米德在亚里山大里亚学习了一段时间后，顿生思乡之情，便回到了自己的祖国——西西里岛的叙拉古。叙拉古国王艾希罗和阿基米德是亲戚。见他在外留学多年，也不问学识深浅，一见面就给他出了个难题。原来一年一度的盛大祭神节就要来临了。艾希罗国王交给金匠一块纯金，命令他制出一顶非常精巧、华丽的王冠。王冠制成后，国王拿在手里掂了掂，觉得有点轻。他叫来金匠问是否掺了假。金匠以脑袋担保，并当面用秤来称，与原来金块的重量一两不差。可是，掺上别的东西也是可以凑足重量的。国王既不能肯定有假，又不相信金匠的誓言，于是把阿基米德找来，要他解此难题。
一连几天，阿基米德闭门谢客，反覆琢磨，因为实心的金块与镂空的王冠外形不同，不砸碎王冠铸成金块，便无法求算其体积，也就无法验证是否掺了假。他绞尽脑汁也百思不得其解。
读者有所不知，这阿基米德还有一个怪毛病，就是家里桌上有了灰尘，从不许别人擦去，以便他在上面画图计算。炉灰掏出来不让马上倒掉，也要摊在地上画个半天。因为当时并没有现在这样方便的纸笔。更有怪者，他常痴痴呆呆地在自己身上涂画。当时人们用一种特产的泥团当肥皂。一天他准备洗澡，可是刚脱了上衣，就抓起一团泥皂在肚子土、胸脯上涂画起来，画了个三角又画圆，边画边思考那顶恼人的王冠。这时他的妻子走进来，一看就知道他又在犯痴，二话没说，便一把将他推入卫生间。他一面挣扎，一面喊道：“不要湿了我的图形！不要湿了我的图形！”但是哪由分说。这厉害夫人逼阿基米德洗澡，也已经是平常事了。他还未喊完，已“扑通”一声跌入池中，夫人掩门而去。谁知这一跌倒使他的思路从那些图形的死胡同里解脱出来，他注视着池沿。原来池水很满，他身子往里一泡，那水就顺着池沿往外溢，地上的鞋子也淹在水里，他急忙探身去取。而他一起身水又立即缩回池里，这一下他连鞋也不取了，又再泡到水里，就这样一出一入，水一涨一落。再说夫人刚走出门外，正要去干别的事，忽听那水池里啦啪啦啪啦地响，水唰唰啦啦地在地上乱流。她停步返身，正要喊：“连洗澡也不会啊！”忽然阿基米德浑身一丝不挂，湿淋淋地冲出门来把她碰了一个倒起，她忙伸手，滑溜溜地没有抓住。阿基米德已冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！（意即发现了）”夫人这回可真着了急，嘴里嘟嚷着“真疯了，真疯了”，便随后也追了出去。街上的人不知发生了什么事情，也都跟在后面追着看。阿基米德头也不回地向王宫一路跑去。
原来，阿基米德由澡盆溢水联想到王冠也可以泡在水里，溢出水的体积就是王冠的体积，而这体积与同等重的金块的体积应该是相同的，否则王冠里肯定有假。就是说，同等重量的东西泡进水里而溢出的水不一样，肯定它们就是不同的物质。每一件物质和相同体积的水都有上个固定的重量比，这就是比重。直到现在，物理实验室里还有一种求比重的仪器，名字就叫“优勒加”，以纪念这一不寻常的发现。
阿基米德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里。白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍（现在我们确切地知道，白银的比重是１０．５，黄金的比重是１９．３）。把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块的多，这时金匠不得不低头承认，王冠里是掺了白银。这件事使国王对阿基米德的学问佩服至极，他立即发出布告：“以后不论阿基米德说什么话，大家都要相信。”
这烦人的王冠之谜总算解决了，阿基米德那愁锁的眉头刚刚舒展一点，可心里又结上了一个疙瘩，真是“才下眉头又上心头”，他的大脑永不肯休息。原来，这希腊是个沿海国家，自古航海事业发达。阿基米德自从在澡盆里一泡，发现物体排出的水等于其体积后，那眼睛就整天盯住海里各种来往的货船，有时在海滩上一立就是一天。那如痴如醉的样子常引得运货的商人和水手们在他的背后指三说四。这天他和好友柯伦到海边散步，还没有走多远就停在那里。柯伦知道他又想起了什么，正要发问，突然阿基米德倒先提出一个问题：“你看，这些船为什么会浮在海上？”
“这很简单，因为它们是木头做的。”
“你是说，只有比水轻的东西才可以浮在水上吗？”
“当然只能如此。”
“可是你看那些奴隶们从船上背下来的箱子，那些金银玉器，那些刀枪兵器，哪个不比水重，为什么它们装在船上不会沉到水里？”
柯伦一时答不上来。阿基米德又说：“我要是把一艘船拆成一块块的木板，再把木板和那些货捆在一起，抛到海里，你说会不会沉到海底？”
柯伦惊得瞪大了眼睛。
“老朋友，你真的要拆一艘三桅货轮作试验吗？”他知道阿基米德搞起实验来是什么都想得出来、干得出来的。
阿基米德淡淡一笑说：“不会，不会。”他从柯伦吃惊的眼神里知道自己在别人眼里实在是个疯子。“我想，我们总会找到别的实验办法的。”
从这天起，海滩上就再也看不见这一对好友的影子。原来，他们呆在家里，围着陶盆，要寻找“浮力”。阿基米德把一块木头放在水里，从陶盆排出的水正好等于木头的重量，他记了下来；又往木头上放了几块石子，再排出的水又正好等于石子的重量，他又记了下来；他把石头放到水里，用秤在水里称石头，比在空气中轻了许多，这个轻重之差又正好等于石头排出的水的重量……。阿基米德将手边能浸入水的物体都这样一一做过试验，终于一拍脑门，然后拿起一根鹅毛管笔在一张小羊皮上郑重地写下了这样一句话：
“物体在液体中所受到的浮力，等于它所排开的同体积的液重。”
接着他将那些实验数字整理好，开始书写一本人类还没有过的科学新书《浮体论》。这本书当时自然不会印刷出版，书的手稿在阿基米德死后二千年才在耶路撒冷图书馆被人发现，书中插图的水面竟是球面形状，这体现了他的科学思想：大地是球形的。这是后话。
还说现在，阿基米德躲在小屋子里，地上摆满了盆盆罐罐，桌上铺着一叠羊皮，他正埋头实验和写作。忽然，一个人推门进来，只见他穿着一身华贵的朝服，却满脸汗水，两脚泥浆，站在门口上气不接下气地嚷道：“啊，我尊敬的阿基米德先生，原来你躲在这里。难道你不知道外面发生了什么事情？国王正派人四处找你，他心急如火，这阵正在宫里发脾气呢。”欲知国王找他有何急事，且听下回分解。